电阻抗成像逆问题具有严重的病态性，制约着电阻抗成像的临床应用。正则化是提高电阻抗成像逆问题求解稳定性和图像分辨率的重要数值手段。本文基于吉洪诺夫正则化和对角权重正则化（DWRM），提出了一种自诊断正则化方法。首先基于灵敏度分析电阻抗成像逆问题的病态性，其次运用奇异值理论对自诊断正则化方法进行分析，最后运用几种不同正则化方法进行了电阻抗成像仿真实验和水槽模拟实验。实验结果表明，本文提出的自诊断正则化方法较传统的正则化方法提高了电阻抗成像的图像质量和抗噪声能力，其改进算法有效降低了电阻抗成像的逆问题病态性，有利于推动电阻抗成像的实际运用。
引用本文： 李星, 杨帆, 余晓, 田浩, 胡家元, 钱洲亥. 基于自诊断正则化的电阻抗成像逆问题研究. 生物医学工程学杂志, 2018, 35(3): 460-467. doi: 10.7507/1001-5515.201708024 复制
引言
电阻抗成像（electrical impedance tomography，EIT）是一种无损、应用成本低、设备简单的新兴成像技术[1]，在生物体的结构功能成像、工业结构检测与过程成像中具有诱人的前景。从 20 世纪 70 年代首次提出电阻抗成像技术到现在，电阻抗成像技术已引起了众多学者的关注和广泛研究[2-3]。
电阻抗成像技术实质上是一个闭域的低频电流场重建问题。电阻抗场域中局部电阻率的变化仅仅使得电极电位发生微小的变化，体现为“软场”效应[4]，加之电极采集的电位数据量相对于场域剖分后的网格数量是非常有限的，造成电阻抗成像逆问题的严重病态性。目前，大量文献采用的是正则化数值方法来提高逆问题求解稳定性和抗噪声能力，而寻找性能更加优良的正则化方法是进一步提高图像分辨率、推动电阻抗成像技术进入临床应用的重要基础。
在电阻抗成像的逆问题研究中，较为经典的吉洪诺夫正则化（Tikhonov regularization）已得到广泛应用[5-6]，同时，基于吉洪诺夫正则化也衍生出各种不同的正则化方法。Gonzalez 等[7]将全变差正则化运用于电阻抗成像逆问题求解中，提高了成像目标边界和轮廓的清晰程度。Clay 等[8]通过奇异值分解并采用加权策略对不同深度灵敏度进行归一化处理来对大脑电阻抗成像的逆问题进行研究，使得不同激励模式的测量值对场域具有相似的敏感性，提高了成像的质量。Vauhkonen 等[9]分析比较了子空间正则化（subspace regularization method，SSRM）、对角权重正则化（diagonal weight regularization method，DWRM）和最小全变差正则化（minimum total variation method，MTVM）在成像场域先验电阻率分布不准确的情况下的容差和抗噪声能力。目前，大量针对电阻抗成像逆问题的研究使其存在的问题逐步得到有效的改善，图像分辨率亦有很大的提高，然而要将电阻抗成像技术应用于临床研究，其图像分辨率和抗噪声能力还需待进一步提高。
本文在现有的研究基础上，结合传统的吉洪诺夫正则化和对角权重正则化的各自优势，提出一种新的电阻抗成像逆问题正则化方法。首先从电阻抗成像模型的灵敏度和欠定性方面对逆问题的病态性进行分析，同时基于奇异值理论对改进正则化方法和传统正则化方法的数值稳定性进行理论对比分析[10]，最后通过实验验证，证明该正则化方法对图像重建的分辨率和抗噪声性能均有一定的提高。本文提出的自诊断正则化方法有效改善了电阻抗成像逆问题的病态性，对电阻抗成像技术的实际运用具有积极的推动作用。
1 电阻抗成像逆问题
1.1 数学模型
电阻抗成像逆问题是在已知测量参数——场域边界电极的测量电位 V 的情况下，对模型参数 ρ 进行求解，即在模型参数空间中寻求一种电阻率分布 ρ 使场域边界电极的测量电位 V 与相应的正问题计算的电位 U（ρ）之差最小，其数学模型描述如式（1）所示：
 |
如式（1）所示，是一个典型的非线性最小二乘问题。为得到极值解，令 E（ρ）对 ρ 中各元素的偏微分为 0，即：
 |
对非线性方程组式（2）采用牛顿-拉夫逊迭代法进行求解，得到迭代公式：
 |
其中，
为黑森矩阵，如式（4）所示：
 |
忽略如式（4）所示的高阶项后得到：
 |
式中，
k 为电极电位对有限元剖分单元电阻率的雅克比矩阵。
1.2 逆问题病态性分析
由于电阻抗成像场域的“软场”效应，电阻抗成像中表面电极电位对场域表面的电阻率变化比较敏感，灵敏度较高，而对场域深处的电阻率变化灵敏度很低。电阻抗成像电极电位对场域的灵敏度与场域内部的电流密度分布有密切的关系，即电流密度越小，灵敏度越低。在稳态的电流场中，电流分布满足最低能量原理[11]，电流会通过最小阻抗和最短路径流动。如图 1 所示，通过有限元软件 ANSYS Maxwell 16.0（ANSYS Inc.，美国）模拟了电阻抗成像场域同一背景和目标电阻率下，目标处于不同深度时，相对驱动模式下电流密度的分布情况，可以看出目标位于场域深处时，其内部电流密度极低，导致电阻率的变化只会引起电极电压的极小变化。
图1
不同目标深度的电流密度分布
Figure1.
The current density distribution of different target depths
电阻抗成像中，电极电位对电阻率的灵敏度体现在逆问题数学模型的雅克比矩阵中。对一个具有 n 个电极、u 个有限元剖分单元的电阻抗成像场域，设电极电位对电阻率灵敏度较高的单元编号为
，对电阻率灵敏度很低趋近于零的单元编号为
，测量数据为
，则雅克比矩阵可以表示为：
 |
将雅克比矩阵用前 s 列和后 u–s 列的分块矩阵表示为：
 |
其中，由于极低的灵敏度，
。结合式（6）和式（7），则有：
 |
由矩阵理论可知：
 |
在电阻抗成像有限元模型中，电极的个数 n 一般远小于电阻率单元数 u，因此
T
为非满秩对称矩阵，不可直接求逆，体现出逆问题的欠定性。即使通过循环测量有可能使矩阵满秩，但由于
2 中的元素趋近于零，
T
也具有巨大的条件数，造成求逆的不稳定，体现出严重病态性。
在电阻抗成像技术中，由于模型误差和测量误差，测量的数据空间包含噪声数据 δ，因此测量的数据 U = R（ρ）+ δ。如图 2 所示，直接通过病态逆算子 R–1 求解得到的电阻率分布与原模型空间相比具有较大的偏差，造成解的不稳定和失效。因此需要通过有效的正则化方法对逆算子进行修正，运用施加正则化的逆算子
对逆问题进行求解，在保证求解稳定的前提下，使求解得到的电阻率分布与理论真实解之间的差值满足精度要求 ε。
图2
逆问题的病态性
Figure2.
The ill-posedness of inverse problem
2 自诊断正则化
2.1 数学模型
在电阻抗成像逆问题的求解中，正则化通过增加一定的罚项来对范数较大或偏离初始值较大的解进行惩罚[12]，从而在达到求解稳定的同时又能保证一定的空间分辨率。传统的施加吉洪诺夫正则化的电阻抗成像逆问题模型为：
 |
本文在传统吉洪诺夫正则化基础之上，结合改进的对角权重正则化（又称为半步牛顿残差正则化），得到改进的正则化，其逆问题模型为：
 |
其中，
是迭代中上一步的迭代结果，与初始值
不同，α、β 为正则化参数，通过求解误差与解之间的 L 曲线法得到[13]，L、Λ 为正则化矩阵。改进的正则化中 L 为单位阵，Λ 的选取基于对角权重正则化，即满足：
 |
在改进正则化的每一步迭代过程中，迭代“初始值”采用上一步的迭代结果，且正则化矩阵与每一次迭代的雅克比矩阵密切相关，进行不断自我修正，因此称为自诊断正则化，与传统正则化相比，具有收敛速度快和准确度高的特点。
2.2 数值特性分析
为分析改进正则化的数值特性，在逆问题求解中的每一次迭代区间内定义线性正向算子
，对 A 进行奇异值分解有：
 |
其中 P 是由左奇异向量构成的矩阵，
是由右奇异向量构成的矩阵，D 是由奇异值
构成的对角阵，且
。
当先验信息
时，式（11）简化为：
 |
把 ρ 表示成
的列向量
的线性组合，即
，同时令
，则：
'/> |
求式（15）的最小值，则 a 满足：
'/> |
因此得到基于奇异值分解的解为：
 |
正则化处理后，通过滤波因子对算子 A 的奇异值进行了修正。因此在不同正则化方法下，一个具有 250 个奇异值的病态正向算子 A 的奇异值分布如图 3 所示。
图3
算子 A 的奇异值分布
Figure3.
The singular value distribution of operator A
由于病态算子的较大奇异值是模型中比较肯定和可靠的部分，较小的高阶奇异值是不可靠的部分，因此需要对较大的奇异值进行较小的抑制和对较小的奇异值进行较大的修正[14]。传统吉洪诺夫正则化的正则化矩阵 L 为单位阵，其滤波因子
对所有奇异值的修正是在同一尺度下的，对较大的低阶奇异值进行了过分的抑制而对较小的高阶奇异值修正程度不够，因此不能使正则化的效果达到最优。本文的自诊断正则化滤波因子
中的
项有效地对传统的吉洪诺夫正则化进行了改进，变尺度的奇异值修正降低了矩阵的条件数，提高了电阻抗成像的稳定性和抗噪声能力。
运用自诊断正则化，与式（3）结合得到电阻抗成像的逆问题迭代模型为：
 |
3 实验分析
为验证自诊断正则化方法的成像效果，本文分别进行了吉洪诺夫正则化、对角权重正则化和自诊断正则化的仿真成像实验和水槽模拟实验。
3.1 分辨率对比分析
实验采用电阻抗成像全电极模型，有限元剖分为 926 个单元、494 个节点和 16 个电极，设置目标电阻率和背景电阻率对比度 5：1，设置单个目标和多目标进行成像，得到电阻率归一化后仿真结果如图 4 所示。
图4
成像结果比较
Figure4.
Comparison of the imaging results
采用图像质量评价（image quality assessment，IQA）全参考中的均方误差[15]（mean square error，MSE）（以符号 MSE 表示）对成像结果的图像质量进行对比分析，即：
'/> |
式中，u 为场域剖分后的单元数（像素数），ρi、
分别为第 i 个单元设置的电阻率和电阻抗成像得到的电阻率。MSE 的值越小表示电阻抗成像对场域的实际电阻率分布重建得越准确，成像的质量越高，对如图 4 所示的成像结果分别进行 MSE 值计算，结果如表 1 所示。
表1
不同正则化方法的成像质量评价
Table1.
Imaging quality of different regularization methods
从单目标和多目标成像结果看出，与传统正则化的成像的结果相比，自诊断正则化具有更低的 MSE 值，保持着较高的图像质量。
为了进一步反映本文中自诊断正则化对低对比度场域的成像效果，在上述的双目标成像中，降低目标和背景的电阻率对比度为 3∶1、2∶1 和 1.5∶1，运用自诊断正则化得到成像结果如图 5 所示。从成像结果中可以看出，当成像目标与场域背景的电阻率对比度降低到 2∶1 时，本文的自诊断正则化方法的成像结果仍具有较高的分辨率，但是当对比度进一步降低到 1.5∶1 以下时，成像效果恶化较严重。
图5
不同对比度下的成像结果对比
Figure5.
Imaging results under different contrast
3.2 抗噪对比分析
在实际的测量中，由于硬件系统和测量环境的干扰，测量数据中的噪声是不可避免的，为了评价改进正则化算法的抗噪声能力，在双目标成像仿真实验中对测量数据施加 0.5%U 的随机误差，即
 |
得到的成像结果如图 6 所示，在测量数据中混入了少量噪声后，正则化方法不能完全消除噪声的影响，传统的正则化方法在噪声污染下，图像变得模糊，成像目标的轮廓和区域均变大，成像结果恶化较严重，其抗噪声能力明显低于自诊断正则化。
图6
施加噪声的成像结果比较
Figure6.
Comparison of single target imaging results with noise
在对比度 5∶1、双目标的仿真实验中进一步增大测量噪声为 1.0%U、2.0%U、3.0%U，施加自诊断正则化得到成像结果如图 7 所示，并分别计算每一次成像结果的 MSE 值，得到噪声情况下的图像质量恶化曲线如图 8 所示。
图7
不同噪声水平下的双目标成像
Figure7.
Imaging results of two targets under different degrees’ noise
图8
MSE 随着噪声增大的恶化曲线
Figure8.
Deterioration curve of MSE with noise increase
如图 7、图 8 所示，当噪声水平进一步增大后，图像质量下降，MSE 值近似指数增大，当噪声增加到 3%U 后，从成像结果几乎难以分辨目标位置和大小，成像失败，其对应的 MSE 值为 0.011 27，可以认为 3%U 是本组仿真成像中能承受的最大噪声水平。
3.3 水槽模拟实验
实验室搭建了电阻抗成像的水槽模拟实验平台进行成像实验，水槽周围均匀分布 16 个电极，用饱和食盐水（电阻率约 20 Ωm）作为成像场域背景电阻率，潮湿木棒（电阻率约 900 Ωm）作为成像目标。实验中，采用相对驱动模式在相对电极施加 100 mA 电流，用高精度数字万用表（Fluke8845A，美国）进行其他电极电位的采集，循环施加激励和测量电位，将电位数据导入成像程序得到最终的成像结果。模拟实验平台水槽示意图和实际实验图如图 9、图 10 所示。
图9
水槽示意图
Figure9.
Schematic diagram of the flume
图10
水槽实验及成像结果
Figure10.
Flume experiment and imaging result
从水槽实验的结果中看出，自诊断正则化能够实现场域的电阻率重建，潮湿木棒的轮廓大小和其与背景之间具有良好的分辨率，其 MSE = 0.014 89。实验中的高精度测量装置并不能完全消除硬件和环境造成的噪声干扰，与零噪声的仿真成像相比，水槽模拟成像结果对目标轮廓分辨还不够理想，这也是正则化技术需要进一步研究的重点。
4 结论
本文对电阻抗成像逆问题的正则化方法进行了研究，基于吉洪诺夫正则化和对角权重正则化，对传统的正则化方法进行改进，提出了自诊断正则化方法。与传统的吉洪诺夫正则化相比，该自诊断正则化充分利用上一步迭代的信息对逆算子奇异值进行变尺度修正，降低雅克比矩阵的条件数，在保证求逆稳定的同时具有更高的图像质量。成像实验结果表明，该改进的正则化方法对电阻抗成像的图像分辨率和抗噪声能力均有所提高。
引言
电阻抗成像（electrical impedance tomography，EIT）是一种无损、应用成本低、设备简单的新兴成像技术[1]，在生物体的结构功能成像、工业结构检测与过程成像中具有诱人的前景。从 20 世纪 70 年代首次提出电阻抗成像技术到现在，电阻抗成像技术已引起了众多学者的关注和广泛研究[2-3]。
电阻抗成像技术实质上是一个闭域的低频电流场重建问题。电阻抗场域中局部电阻率的变化仅仅使得电极电位发生微小的变化，体现为“软场”效应[4]，加之电极采集的电位数据量相对于场域剖分后的网格数量是非常有限的，造成电阻抗成像逆问题的严重病态性。目前，大量文献采用的是正则化数值方法来提高逆问题求解稳定性和抗噪声能力，而寻找性能更加优良的正则化方法是进一步提高图像分辨率、推动电阻抗成像技术进入临床应用的重要基础。
在电阻抗成像的逆问题研究中，较为经典的吉洪诺夫正则化（Tikhonov regularization）已得到广泛应用[5-6]，同时，基于吉洪诺夫正则化也衍生出各种不同的正则化方法。Gonzalez 等[7]将全变差正则化运用于电阻抗成像逆问题求解中，提高了成像目标边界和轮廓的清晰程度。Clay 等[8]通过奇异值分解并采用加权策略对不同深度灵敏度进行归一化处理来对大脑电阻抗成像的逆问题进行研究，使得不同激励模式的测量值对场域具有相似的敏感性，提高了成像的质量。Vauhkonen 等[9]分析比较了子空间正则化（subspace regularization method，SSRM）、对角权重正则化（diagonal weight regularization method，DWRM）和最小全变差正则化（minimum total variation method，MTVM）在成像场域先验电阻率分布不准确的情况下的容差和抗噪声能力。目前，大量针对电阻抗成像逆问题的研究使其存在的问题逐步得到有效的改善，图像分辨率亦有很大的提高，然而要将电阻抗成像技术应用于临床研究，其图像分辨率和抗噪声能力还需待进一步提高。
本文在现有的研究基础上，结合传统的吉洪诺夫正则化和对角权重正则化的各自优势，提出一种新的电阻抗成像逆问题正则化方法。首先从电阻抗成像模型的灵敏度和欠定性方面对逆问题的病态性进行分析，同时基于奇异值理论对改进正则化方法和传统正则化方法的数值稳定性进行理论对比分析[10]，最后通过实验验证，证明该正则化方法对图像重建的分辨率和抗噪声性能均有一定的提高。本文提出的自诊断正则化方法有效改善了电阻抗成像逆问题的病态性，对电阻抗成像技术的实际运用具有积极的推动作用。
1 电阻抗成像逆问题
1.1 数学模型
电阻抗成像逆问题是在已知测量参数——场域边界电极的测量电位 V 的情况下，对模型参数 ρ 进行求解，即在模型参数空间中寻求一种电阻率分布 ρ 使场域边界电极的测量电位 V 与相应的正问题计算的电位 U（ρ）之差最小，其数学模型描述如式（1）所示：
|
如式（1）所示，是一个典型的非线性最小二乘问题。为得到极值解，令 E（ρ）对 ρ 中各元素的偏微分为 0，即：
|
对非线性方程组式（2）采用牛顿-拉夫逊迭代法进行求解，得到迭代公式：
|
其中，
为黑森矩阵，如式（4）所示：
|
忽略如式（4）所示的高阶项后得到：
|
式中，
k 为电极电位对有限元剖分单元电阻率的雅克比矩阵。
1.2 逆问题病态性分析
由于电阻抗成像场域的“软场”效应，电阻抗成像中表面电极电位对场域表面的电阻率变化比较敏感，灵敏度较高，而对场域深处的电阻率变化灵敏度很低。电阻抗成像电极电位对场域的灵敏度与场域内部的电流密度分布有密切的关系，即电流密度越小，灵敏度越低。在稳态的电流场中，电流分布满足最低能量原理[11]，电流会通过最小阻抗和最短路径流动。如图 1 所示，通过有限元软件 ANSYS Maxwell 16.0（ANSYS Inc.，美国）模拟了电阻抗成像场域同一背景和目标电阻率下，目标处于不同深度时，相对驱动模式下电流密度的分布情况，可以看出目标位于场域深处时，其内部电流密度极低，导致电阻率的变化只会引起电极电压的极小变化。
图1
不同目标深度的电流密度分布
Figure1.
The current density distribution of different target depths
电阻抗成像中，电极电位对电阻率的灵敏度体现在逆问题数学模型的雅克比矩阵中。对一个具有 n 个电极、u 个有限元剖分单元的电阻抗成像场域，设电极电位对电阻率灵敏度较高的单元编号为
，对电阻率灵敏度很低趋近于零的单元编号为
，测量数据为
，则雅克比矩阵可以表示为：
|
将雅克比矩阵用前 s 列和后 u–s 列的分块矩阵表示为：
|
其中，由于极低的灵敏度，
。结合式（6）和式（7），则有：
|
由矩阵理论可知：
|
在电阻抗成像有限元模型中，电极的个数 n 一般远小于电阻率单元数 u，因此
T 为非满秩对称矩阵，不可直接求逆，体现出逆问题的欠定性。即使通过循环测量有可能使矩阵满秩，但由于
2 中的元素趋近于零，
T 也具有巨大的条件数，造成求逆的不稳定，体现出严重病态性。
在电阻抗成像技术中，由于模型误差和测量误差，测量的数据空间包含噪声数据 δ，因此测量的数据 U = R（ρ）+ δ。如图 2 所示，直接通过病态逆算子 R–1 求解得到的电阻率分布与原模型空间相比具有较大的偏差，造成解的不稳定和失效。因此需要通过有效的正则化方法对逆算子进行修正，运用施加正则化的逆算子
对逆问题进行求解，在保证求解稳定的前提下，使求解得到的电阻率分布与理论真实解之间的差值满足精度要求 ε。
图2
逆问题的病态性
Figure2.
The ill-posedness of inverse problem
2 自诊断正则化
2.1 数学模型
在电阻抗成像逆问题的求解中，正则化通过增加一定的罚项来对范数较大或偏离初始值较大的解进行惩罚[12]，从而在达到求解稳定的同时又能保证一定的空间分辨率。传统的施加吉洪诺夫正则化的电阻抗成像逆问题模型为：
|
本文在传统吉洪诺夫正则化基础之上，结合改进的对角权重正则化（又称为半步牛顿残差正则化），得到改进的正则化，其逆问题模型为：
|
其中，
是迭代中上一步的迭代结果，与初始值
不同，α、β 为正则化参数，通过求解误差与解之间的 L 曲线法得到[13]，L、Λ 为正则化矩阵。改进的正则化中 L 为单位阵，Λ 的选取基于对角权重正则化，即满足：
|
在改进正则化的每一步迭代过程中，迭代“初始值”采用上一步的迭代结果，且正则化矩阵与每一次迭代的雅克比矩阵密切相关，进行不断自我修正，因此称为自诊断正则化，与传统正则化相比，具有收敛速度快和准确度高的特点。
2.2 数值特性分析
为分析改进正则化的数值特性，在逆问题求解中的每一次迭代区间内定义线性正向算子
，对 A 进行奇异值分解有：
|
其中 P 是由左奇异向量构成的矩阵，
是由右奇异向量构成的矩阵，D 是由奇异值
构成的对角阵，且
。
当先验信息
时，式（11）简化为：
|
把 ρ 表示成
的列向量
的线性组合，即
，同时令
，则：
|
'/> |
求式（15）的最小值，则 a 满足：
|
'/> |
因此得到基于奇异值分解的解为：
|
正则化处理后，通过滤波因子对算子 A 的奇异值进行了修正。因此在不同正则化方法下，一个具有 250 个奇异值的病态正向算子 A 的奇异值分布如图 3 所示。
图3
算子 A 的奇异值分布
Figure3.
The singular value distribution of operator A
由于病态算子的较大奇异值是模型中比较肯定和可靠的部分，较小的高阶奇异值是不可靠的部分，因此需要对较大的奇异值进行较小的抑制和对较小的奇异值进行较大的修正[14]。传统吉洪诺夫正则化的正则化矩阵 L 为单位阵，其滤波因子
对所有奇异值的修正是在同一尺度下的，对较大的低阶奇异值进行了过分的抑制而对较小的高阶奇异值修正程度不够，因此不能使正则化的效果达到最优。本文的自诊断正则化滤波因子
中的
项有效地对传统的吉洪诺夫正则化进行了改进，变尺度的奇异值修正降低了矩阵的条件数，提高了电阻抗成像的稳定性和抗噪声能力。
运用自诊断正则化，与式（3）结合得到电阻抗成像的逆问题迭代模型为：
|
3 实验分析
为验证自诊断正则化方法的成像效果，本文分别进行了吉洪诺夫正则化、对角权重正则化和自诊断正则化的仿真成像实验和水槽模拟实验。
3.1 分辨率对比分析
实验采用电阻抗成像全电极模型，有限元剖分为 926 个单元、494 个节点和 16 个电极，设置目标电阻率和背景电阻率对比度 5：1，设置单个目标和多目标进行成像，得到电阻率归一化后仿真结果如图 4 所示。
图4
成像结果比较
Figure4.
Comparison of the imaging results
采用图像质量评价（image quality assessment，IQA）全参考中的均方误差[15]（mean square error，MSE）（以符号 MSE 表示）对成像结果的图像质量进行对比分析，即：
|
'/> |
式中，u 为场域剖分后的单元数（像素数），ρi、
分别为第 i 个单元设置的电阻率和电阻抗成像得到的电阻率。MSE 的值越小表示电阻抗成像对场域的实际电阻率分布重建得越准确，成像的质量越高，对如图 4 所示的成像结果分别进行 MSE 值计算，结果如表 1 所示。
表1
不同正则化方法的成像质量评价
Table1.
Imaging quality of different regularization methods
从单目标和多目标成像结果看出，与传统正则化的成像的结果相比，自诊断正则化具有更低的 MSE 值，保持着较高的图像质量。
为了进一步反映本文中自诊断正则化对低对比度场域的成像效果，在上述的双目标成像中，降低目标和背景的电阻率对比度为 3∶1、2∶1 和 1.5∶1，运用自诊断正则化得到成像结果如图 5 所示。从成像结果中可以看出，当成像目标与场域背景的电阻率对比度降低到 2∶1 时，本文的自诊断正则化方法的成像结果仍具有较高的分辨率，但是当对比度进一步降低到 1.5∶1 以下时，成像效果恶化较严重。
图5
不同对比度下的成像结果对比
Figure5.
Imaging results under different contrast
3.2 抗噪对比分析
在实际的测量中，由于硬件系统和测量环境的干扰，测量数据中的噪声是不可避免的，为了评价改进正则化算法的抗噪声能力，在双目标成像仿真实验中对测量数据施加 0.5%U 的随机误差，即
|
得到的成像结果如图 6 所示，在测量数据中混入了少量噪声后，正则化方法不能完全消除噪声的影响，传统的正则化方法在噪声污染下，图像变得模糊，成像目标的轮廓和区域均变大，成像结果恶化较严重，其抗噪声能力明显低于自诊断正则化。
图6
施加噪声的成像结果比较
Figure6.
Comparison of single target imaging results with noise
在对比度 5∶1、双目标的仿真实验中进一步增大测量噪声为 1.0%U、2.0%U、3.0%U，施加自诊断正则化得到成像结果如图 7 所示，并分别计算每一次成像结果的 MSE 值，得到噪声情况下的图像质量恶化曲线如图 8 所示。
图7
不同噪声水平下的双目标成像
Figure7.
Imaging results of two targets under different degrees’ noise
图8
MSE 随着噪声增大的恶化曲线
Figure8.
Deterioration curve of MSE with noise increase
如图 7、图 8 所示，当噪声水平进一步增大后，图像质量下降，MSE 值近似指数增大，当噪声增加到 3%U 后，从成像结果几乎难以分辨目标位置和大小，成像失败，其对应的 MSE 值为 0.011 27，可以认为 3%U 是本组仿真成像中能承受的最大噪声水平。
3.3 水槽模拟实验
实验室搭建了电阻抗成像的水槽模拟实验平台进行成像实验，水槽周围均匀分布 16 个电极，用饱和食盐水（电阻率约 20 Ωm）作为成像场域背景电阻率，潮湿木棒（电阻率约 900 Ωm）作为成像目标。实验中，采用相对驱动模式在相对电极施加 100 mA 电流，用高精度数字万用表（Fluke8845A，美国）进行其他电极电位的采集，循环施加激励和测量电位，将电位数据导入成像程序得到最终的成像结果。模拟实验平台水槽示意图和实际实验图如图 9、图 10 所示。
图9
水槽示意图
Figure9.
Schematic diagram of the flume
图10
水槽实验及成像结果
Figure10.
Flume experiment and imaging result
从水槽实验的结果中看出，自诊断正则化能够实现场域的电阻率重建，潮湿木棒的轮廓大小和其与背景之间具有良好的分辨率，其 MSE = 0.014 89。实验中的高精度测量装置并不能完全消除硬件和环境造成的噪声干扰，与零噪声的仿真成像相比，水槽模拟成像结果对目标轮廓分辨还不够理想，这也是正则化技术需要进一步研究的重点。
4 结论
本文对电阻抗成像逆问题的正则化方法进行了研究，基于吉洪诺夫正则化和对角权重正则化，对传统的正则化方法进行改进，提出了自诊断正则化方法。与传统的吉洪诺夫正则化相比，该自诊断正则化充分利用上一步迭代的信息对逆算子奇异值进行变尺度修正，降低雅克比矩阵的条件数，在保证求逆稳定的同时具有更高的图像质量。成像实验结果表明，该改进的正则化方法对电阻抗成像的图像分辨率和抗噪声能力均有所提高。
